Je hebt er sowieso al eens van gehoord, maar wat is de stelling van Pythagoras eigenlijk precies? Je vraagt je misschien af: Wat is een stelling? En wie is Pythagoras? Allemaal vragen die we in dit artikel beantwoorden. ;-)
Wat is een stelling?
Neen, niet zo een stelling! In de wiskunde is een stelling een bewering die bewezen is waar te zijn. Ofwel op basis van algemeen aanvaarde beweringen, ofwel op basis van eerder vastgestelde beweringen zoals andere stellingen.
Wie is Pythagoras?
Pythagoras is een Griekse kerel die heel, heel lang geleden leefde ... ongeveer 2500 jaar
geleden. Aangezien het al zo lang geleden is dat hij leefde, is het niet verwonderlijk dat de details over hem een beetje ‘vaag’ zijn. We weten wel dat hij een filosoof en een wiskundige was. Ook al was de stelling al langer bekend, Pythagoras was degene die erover schreef en de stelling bewees. Daarom spreken we over de stelling van Pythagoras.
De stelling van Pythagoras: formule
Nu we dat allemaal weten, gaan we kijken wat deze stelling precies inhoudt. Er zijn verschillende manieren om de stelling voor te stellen. Dit is degene die het meest bekend is:
In een rechthoekige driehoek, met rechthoekszijden a en b en schuine zijde c, geldt: a²+b²=c².
Zoals je ziet in de definitie, is de stelling van Pythagoras niet toepasbaar in elke driehoek. Enkel in een rechthoekige driehoek dus, dit is een driehoek waarvan één hoek gelijk is aan 90°.
Om de stelling toe te passen, moet je begrijpen welke zijden een rechthoekige driehoek heeft. De schuine zijde c herken je aangezien ze de rechthoekige hoek niet raakt. De zijden a en b zijn de zijden die de rechthoekige hoek wél raken. We noemen deze ook de rechthoekszijden a en b.
Elk wiskundeboek gebruikt andere notaties. Het is mogelijk dat zij de schuine zijde a noemen en de rechthoekszijden b en c. Dan is de formule a²=b²+c², want de definitie zegt:
“Kwadrateren we de twee lengtes van de rechthoekszijden en tellen die met elkaar op? Dan bekomen we het kwadraat van de lengte van de schuine zijde.”
Het maakt niet uit welke namen je geeft aan de zijden. Zolang de schuine zijde aan de ene kant staat van de formule en de twee rechthoekszijden aan de andere kant.
De speciale driehoek (3-4-5)
Is dit nogal verwarrend? We nemen er een speciale driehoek bij om het wat logischer te maken: De driehoek met zijden 3, 4 en 5. Hoe je deze ook tekent, het is altijd een rechthoekige driehoek, waarbij de schuine zijde 5 is. Probeer zelf eens uit! De lengtes kan je uitdrukken in centimeter, meter, inches, etc. De meeteenheid maakt niet uit, zolang de verhouding 3 - 4 - 5 is.
Rechthoekszijde a
We stellen a gelijk aan de zijde van 3 units lang. In de stelling van Pythagoras kwadrateren we dit. Kwadrateren is het vermenigvuldigen met zichzelf: 3²=3*3=9. We beelden kwadraten geometrisch uit door vierkanten. Op onderstaande foto zien we dat het blauwe vierkant gelijk staat aan 3². Het is een representatie van a². En het vierkant bestaat ook uit 9 units.
Rechthoekszijde b
Laten we vervolgens kijken naar de zijde van 4 units lang, die we zijde b noemen. Het kwadraat van 4 is hetzelfde als 4*4 en dat is gelijk aan 16. Opnieuw bekijken we dit geometrisch. We maken een vierkant met zijden van 4 units lang. Dit vierkant bestaat uit 16 units. Dit oranje vierkant is een representatie van b².
Schuine zijde c
En als laatste kijken we naar de schuine zijde, die telkens gelijk is aan c. De schuine zijde is 5 units lang. Het kwadraat van 5 is gelijk aan 5²=5*5=25. En het geometrische equivalent is een vierkant met zijdes van 5 units lang. Het heeft een oppervlakte van 25 units. Het roze gedeelte staat hier gelijk aan 5², dus aan c².
Laten we eens nakijken of de stelling correct is in deze speciale driehoek. We berekenden zojuist het kwadraat van:
- a: 3² = 9
- b: 4² = 16
- c: 5² = 25
De stelling van Pythagoras is a²+b²=c². We vullen dus in: 3²+4²=5². Dat is gelijk aan 9+16=25. En dat klopt ook!
We bekeken het ook geometrisch door er vierkanten van te maken. Vervormen we de vierkanten? Dan zien we dat het vierkant van a en b samen even groot is als het vierkant van c.
Amai, die Pythagoras is slim!
Hoe gebruik ik de stelling van Pythagoras?
Allemaal goed en wel, maar je vraagt je waarschijnlijk af waarom de stelling van Pythagoras zo belangrijk is. Wel, dat is een goede vraag. De stelling van Pythagoras is een handig middel voor het vinden van wat je niet weet met behulp van wat je wel weet.
Bijvoorbeeld, een rechthoekige driehoek waarvan twee zijden bekend zijn. Eén zijde is onbekend, je weet niet hoe lang deze is. Wel, met behulp van Pythagoras rekenen we dit uit. De stelling van Pythagoras geeft ons de relatie weer van alle drie de zijden.
Stel, we hebben een driehoek met rechthoekszijden 2 en 5. We willen weten hoe lang de schuine zijde is. Geen probleem! Onze held Pythagoras helpt ons: a²+b²=c². We stellen de zijde met lengte 2 gelijk aan a en de zijde met lengte 5 gelijk aan b. We vullen dit in onze formule in en zo krijgen we 2²+5²=c². We rekenen dit uit: 2²+5² = 4+25 = 29. Dus 29=c², of c²=29. Maar we willen weten hoe lang c is, niet c². We rekenen dit verder uit en krijgen als resultaat dat c gelijk is aan √29.. De schuine zijde heeft een lengte van √29.
Zit je vast bij oefeningen over Pythagoras? Er is een online tool die je kan gebruiken om jezelf te controleren. Je geeft in wat je wel kent en wat je zoekt. Erna klik je op ‘generate work’. Ze tonen de oplossing én de uitwerking.
Toepassing Pythagoras
We zien op de foto hierboven een zojuist opgestegen vliegtuig dat op een hoogte vliegt van 20m. We vragen ons af hoeveel meter het vliegtuig heeft afgelegd vanaf het moment dat het de grond verliet. Op de GPS zien we dat het vliegtuig, t.o.v. dat ene punt wanneer het de grond verliet, zich 30 meter meer in het noorden bevindt en 40 meter meer in het oosten.
Krijg je een blok tekst zoals hierboven? Begin te noteren wat je weet. Wat weten we?
- Het vliegtuig bevindt zich op een hoogte van 20m.
- Het vliegtuig bevindt zich 30m meer in het noorden.
- Het vliegtuig bevindt zich 40m meer in het oosten.
Dit brengt ons nog steeds niet tot de oplossing. Laten we het meer visualiseren.
Alle punten hebben een naam gekregen om het geheel duidelijk te maken. We willen AB kennen. We hebben dus AC en BC nodig. AC is 20m, dat weten we. We kennen BC niet. Hoe vinden we dan AB? Wel, kijk eens goed naar driehoek BCD, want die is uitrekenbaar.
- BD is 30m.
- CD is 40m.
- De stelling van Pythagoras in driehoek BCD zegt: BD²+CD²=BC²
We vullen de gekende informatie in, in de formule:
En we komen 50m uit. BC is 50m.
Nu we BC kennen, hebben we wel genoeg informatie om AB te weten te komen.
- BC is 50m
- AC is 20m
- Pythagoras: BC²+AC²=AB²
We vullen opnieuw de formule in en rekenen het uit.
AB is √2900, of 10√29, of uitgerekend 53,85m. (Alledrie de notaties zijn hetzelfde en correct). Het vliegtuig heeft 53,85m afgelegd.
Ziezo, nu kan je vrienden, leerkrachten en ouders verbluffen met je nieuwe talent! Krijg je maar niet genoeg van driehoeksmeetkunde? Neem dan een kijkje in ons artikel over goniometrie!
Is de stelling van Pythagoras toch nog niet helemaal duidelijk, of worstel je met andere onderdelen van wiskunde? Vraag dan vrijblijvend een bijlesdocent wiskunde aan om je te helpen bij je pijnpunten!
Laat hieronder je gegevens achter en blijf zo op de hoogte van onze nieuwste artikels! Je ontvangt verder geen reclame of andere e-mails.
