Hoe rekenen we met hoeken en zijden van een driehoek? In dit artikel bekijken we goniometrische verhoudingen van dichterbij. We hebben het over sinus, cosinus en tangens.
Wat betekenen sinus, cosinus en tangens?
Stel, je bent op reis door de bergen aan het rijden. Het verkeersbord geeft een hellingsgraad van 28% aan. Dat is zo voor de volgende 2 kilometer. Wanneer je boven bent, geniet je van een heel mooi uitzicht.
Je vraagt je af op welke hoogte je je bevindt. Jammer genoeg staat er nergens een bordje dat de hoogte van de berg aangeeft. Hoe hoog is deze berg? Wel, dat is gemakkelijk te berekenen met goniometrische verhoudingen.
De zijden benoemen in een rechthoekige driehoek
De goniometrie die we hier bespreken, heeft betrekking op een rechthoekige driehoek. Om de basis van goniometrie uit te leggen is het belangrijk dat de drie zijden een naam krijgen.
We bekijken de zijden t.o.v. de hoek A. Een rechthoekige driehoek heeft één schuine zijde (de langste zijde). De andere twee zijden maken de rechthoekige hoek. Voor punt A is er een aanliggende rechthoekszijde en een overstaande rechthoekszijde.
Bekijk even onderstaande driehoeken. De driehoekjes zijn exact hetzelfde qua vorm, enkel de grootte is verschillend. Ze hebben dezelfde hoeken, maar verschillende zijden.
Delen we bij beide driehoeken de schuine zijde door de onderste rechthoekige zijde, dan bekomen we het volgende:
We bekomen hier hetzelfde resultaat. Wanneer we de hoeken kennen, staat de verhouding van de zijden vast. Het maakt niet uit hoe lang deze zijn.
De verhoudingen van de zijden in een rechthoekige driehoek is bepaald door zijn hoeken.
Er zijn drie zijden in een driehoek. Dit betekent dat er drie mogelijke verhoudingen zijn van de lengten van de zijden van een driehoek. En, zoals je misschien al hebt geraden, zijn deze drie verhoudingen niets anders dan de sinus, cosinus en tangens.
De goniometrische verhoudingen
Elk type verhouding heeft een naam gekregen: sinus, cosinus en tangens.
Dit toegepast op de volgende driehoek voor hoek α, krijg je volgend resultaat.
Toegepast op onze driehoek
Een sinus, cosinus of tangens neem je altijd van een hoek. We nemen de driehoek van daarnet er weer bij.
De sinus van A, is de sinus van 53°. Dit heeft de volgende notatie: sin(A)=sin(53°). Bereken je dit met je grafische rekenmachine? Dan krijgen we afgerond 0,8.
We zagen hierboven dat de sinus de overstaande zijde is, gedeeld door de schuine zijde. In dit voorbeeld is de sinus van A dan ⅘= 0,8. Hetzelfde getal dat de rekenmachine had uitgerekend.
Conclusie: wat is een sinus, cosinus of tangens?
Sinus, cosinus en tangens leggen verbanden in rechthoekige driehoeken tussen zijden en hoeken. Indien er gegevens ontbreken, vinden we dit gemakkelijk door onze drie verhoudingen.
Nu je dit allemaal begrijpt, hoef je enkel de verhoudingen te onthouden.
Geen zin om moeite te doen om bovenstaande te onthouden? Onthoud dan SOS CASTOA.
Sin = Overstaande / Schuine (S.O.S.)
Cos = Aanliggende / Schuine (C.A.S.)
Tan = Overstaande / Aanliggende (T.O.A.)
Toepassing: hoogte van de berg
We keren terug naar ons voorbeeldje in het begin. We weten dat er 2000m gereden was. We weten ook dat er een hellingsgraad van 28° was.
Goniometrie geldt enkel in een rechthoekige driehoek. We delen de berg zo in dat er een rechthoekige driehoek ontstaat. We vullen onze gegevens in op deze driehoek.
Hoe hoog is de berg? Hoe hoog is de lengte van x? Hoek A is gegeven, 28°. Door middel van een rekenmachine is de berekening van de sinus, cosinus of tangens mogelijk. De schuine zijde (S) is gegeven. Het gevraagde is de overstaande rechthoekszijde (O) t.o.v. hoek A. We maken gebruik van de sinus (S.O.S.).
Sin(A) = overstaande rechthoekszijde / schuine zijde
Sin(28°) = x / 2000m
x = sin(28°) * 2000m
x = 0,4695 * 2000m
x = 939m
De plaats waar je je bevindt op de berg is dus 939m hoog.
We kunnen niet alleen hoogtes van bergen berekenen. Dit is ook toepasbaar bij architectuur of bij het bouwen van bijvoorbeeld kasten. De besproken goniometrie is de basis voor veel toepassingen, bijvoorbeeld de goniometrische cirkel. Maar daar later meer over!
Nouchka van BijlesHuis heeft een voorliefde voor cijfers en berekeningen. In deze reeks helpt ze jou om enkele concepten van wiskunde beter te begrijpen. Vragen over dit artikel? Stuur een mailtje naar nouchka@bijleshuis.be en ze geeft je met plezier meer uitleg! Op zoek naar bijles voor wiskunde? Neem dan een kijkje bij BijlesHuis.
Laat hieronder je gegevens achter en blijf zo op de hoogte van onze nieuwste artikels! Je ontvangt verder geen reclame of andere e-mails.
