Je komt over het algemeen minder vaak met inhoud (volume) in aanraking dan met oppervlaktes. Inhoud kan echter ook bruikbaar zijn buiten klaslokalen. Je kan bijvoorbeeld berekenen hoeveel je in een verhuisdoos kan stoppen, hoeveel choco er in een pot past, enz. In dit artikel gaan we de formules onderzoeken die je nodig hebt om de inhoud van driedimensionale vormen te bepalen.
Bij formules heb je twee opties: ofwel uit het hoofd leren zodat je het voor de toets onthoudt en daarna weer vergeten bent, ofwel mee redeneren hoe de formule tot stand komt. Als je de formule begrijpt, kan je hem daarna op eender welk moment opnieuw uit je mouw schudden. Net zoals het volume berekenen van ruimtefiguren! Het goede nieuws is dat elke formule gebruik maakt van dezelfde basismetingen, dus het leren van nieuwe formules wordt steeds een beetje eenvoudiger.
Van oppervlakte naar inhoud
Oppervlakte is de maat voor een tweedimensionaal object (2D). Inhoud/volume is de maat die aangeeft hoeveel ruimte er is in een driedimensionaal object (3D). Om van oppervlakte naar inhoud te gaan, voegen we een diepte toe. Voor een kommetje cornflakes bijvoorbeeld betekent de diepte : van de bovenkant van de kom tot de onderkant van de kom.
Een oppervlakte bereken je door een eendimensionale lengte (1D) te vermenigvuldigen met een eendimensionale lengte, bijvoorbeeld cm x cm. Oppervlakte druk je daarom uit in machten van 2: bijvoorbeeld cm².
Volumes vormen we door er een diepte aan toe te voegen, bijvoorbeeld cm x cm x cm. Inhoud drukken we daarom uit in machten van 3, bijvoorbeeld cm³.
Oppervlakte van ruimtefiguren
Als we het over vlakke figuren hebben, spreken we over oppervlakte (2D) en omtrek (1D). Op een gelijkaardige manier hebben ruimtefiguren dit ook. Naast inhoud (3D) hebben ze ook een oppervlakte (2D). Hiermee bedoelen we de oppervlakte van de buitenste laag.
Verschillende notaties
De terminologie in wiskunde verschilt af en toe. In wiskundeboeken en in verschillende landen worden soms verschillende notaties of termen gebruikt om hetzelfde voor te stellen. Dit is vooral het geval bij dimensies. Lengte, breedte, hoogte, zijde, ... Soms weten we dan niet wat we moeten gebruiken.
Welk woord gebruikt wordt maakt niet uit. Zolang je begrijpt wat je moet gebruiken.
Hoe bereken je inhoud?
Ruimtefiguren gevormd door uit te rekken: cilinder, balk, kubus
Veel ruimtefiguren worden gevormd door het nemen van een 2D figuur en deze dan uit te rekken naar een 3D figuur. Denk maar aan een kubus, balk, prisma en cilinder. En goed nieuws! Er is een algemene formule om het volume te berekenen van al deze vormen. Je neemt de oppervlakte van de 2D figuur en vermenigvuldigt ze met de lengte waarmee deze uitgerekt is (de diepte).
Zo gemakkelijk is het! Op deze manier bereken je het volume van een cilinder, balk, kubus en prisma.
Ruimtefiguren gevormd door het draaien rond een as
Sommige ruimtefiguren worden niet gevormd door ze uit te rekken, maar door het draaien rond een as. Denk maar aan een kegel en een bol.
De formules om de inhoud uit te rekenen van een kegel en een bol zijn wat ingewikkelder dan hun broertjes. Om het jullie niet te moeilijk te maken, gaan we niet het volledige bewijs bestuderen. Wel bekijken we hoe we eraan komen.
Inhoud van een kegel berekenen
Een kegel wordt gevormd door een rechthoekige driehoek te laten spinnen rond een van de rechthoekszijden.
We kunnen een kegel zien als een onderdeel van een cilinder. We zagen zojuist wat het volume is van een cilinder: A=Π*r²*h.
De afbeelding toont een kegel in een cilinder met dezelfde hoogte en dezelfde basis. Als we het volume van de kegel en de cilinder vergelijken, zien we dat het volume van de kegel kleiner is dan dat van de cilinder.
In feite is het volume van een kegel precies een derde van het volume van een cilinder met dezelfde basis en hoogte.
Inhoud van een bol berekenen
Een bol (of sfeer) wordt gevormd door een cirkel rond zijn diameter te draaien.
Het bewijs om het volume te vinden is zoals hierboven vermeld te ingewikkeld om in dit artikel te bespreken. We vergelijken een bol en een kegel, waarbij de diameter even groot is als de hoogte van de kegel.
Wat blijkt ? De inhoud van de bol is gelijk aan het dubbele van de inhoud van de kegel.
Rekenen met hoogtes van een cilinder om de inhoud van een bol te vinden is niet de meest efficiënte manier. Daarnet zagen we dat de hoogte van de kegel gelijk is aan de diameter van de bol. En de diameter is twee keer de straal. Dus hebben we:
Ziezo, nu weet je al wat meer over volumes berekenen. We weten dat het driedimensionale figuren zijn en dat we deze uitdrukken in een derde macht. Uiteraard bestaan er veel meer figuren dan we zojuist hebben besproken. Maar met je pas verworven kennis kan je toch al de inhoud van de basisvormen berekenen!
Heb je het lastig met volumes berekenen of andere onderdelen van wiskunde? Vraag dan naar bijles wiskunde aan huis met een ervaren vakdocent.
Interesse om de rest van onze wiskundereeks te ontdekken? Lees hier onze artikels over goniometrische verhoudingen, eerstegraadsfuncties en vergelijkingen oplossen.
Laat hieronder je gegevens achter en blijf zo op de hoogte van onze nieuwste artikels! Je ontvangt verder geen reclame of andere e-mails.
