Rekenen met breuken klinkt ingewikkeld, maar is gelukkig een stuk makkelijker dan je denkt. In dit artikel bespreken we hoe we optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen met breuken.
Breuken vermenigvuldigen
Waarom beginnen we met breuken vermenigvuldigen? Wel, het is SUPER gemakkelijk. Gemakkelijker dan optellen en aftrekken. Hoe komt dat? Wel, breuken zijn delingen.
Vermenigvuldigen en delen gaan veel beter samen dan optellen en delen. In onderstaande breuk hebben we zowel een deling als een vermenigvuldiging.
En herinner je je nog de voorrangsregel?
Wel, die zegt dat we eerst vermenigvuldigen en delen alvorens op te tellen en af te trekken. Bij vermenigvuldigen en delen maakt het niet uit wat we eerst doen. Het resultaat blijft steeds hetzelfde. Of we eerst delen door de noemer, of vermenigvuldigen met de andere teller, het resultaat blijft hetzelfde. Daarom kunnen we de tellers met elkaar vermenigvuldigen en de noemers met elkaar vermenigvuldigen. Het resultaat blijft hetzelfde.
Dit wetende, schrijven we een vermenigvuldiging van twee breuken:
Zo gemakkelijk is het! Om breuken te vermenigvuldigen, vermenigvuldig je de tellers (de bovenste cijfers/getallen) met elkaar en vermenigvuldig je de noemers (de onderste cijfers/getallen) met elkaar.
Breuken optellen en aftrekken
Als we bij vermenigvuldigingen van breuken de noemers vermenigvuldigen en de tellers vermenigvuldigen, zouden we dan bij optellingen, de noemers kunnen optellen en de tellers kunnen optellen? Helaas niet.
Als je twee helften hebt van een pizza, dan heb je één volledige pizza. Twee helften vormen niet een andere helft.
Wat doen we fout? Wel, zoals we hierboven zagen, zijn er de voorrangsregels waarmee we rekening moeten houden. Volgens de voorrangsregel moet je eerst vermenigvuldigen en delen, alvorens op te tellen en af te trekken. Aangezien breuken eigenlijk delingen zijn, waren we deze voorrangsregels aan het overtreden door eerst op te tellen.
Het is altijd goed als je wiskunde leert, om het toe te passen op iets minder abstract, zoals pizza. Wil je meer tips over wiskunde studeren? Bekijk dan zeker ons artikel ‘Hoe studeer je wiskunde?’.
Breuken met dezelfde noemer optellen en aftrekken
Optellen
Er is één uitzondering waarbij we wél de tellers optellen, zonder regels te overtreden. Breuken met dezelfde noemer (gelijknamige breuken) zijn optelbaar met elkaar door de tellers op te tellen en de noemer te behouden.
Als we 1/4 optellen met 3/4, dan tellen we de tellers op (1+3=4) en behouden we noemer (=4). En dit is gelijk aan 1.
Eet je een kwart van de pizza mozzarella en drie kwart van de pizza Hawaï? Dan heb je in totaal een volledige pizza gegeten.
Laten we er nog een voorbeeldje bij nemen. Hoeveel is 7/3 + 1/3?
We rekenen eerst de teller uit: 7+1= 8. Dan de noemer: die blijft hetzelfde, dus 3. We bekomen 8/3.
Aftrekken
Dezelfde regel geldt voor breuken aftrekken: we trekken de tellers van elkaar af en behouden de noemer. Hoeveel is 6/5 - 4/5 dan?
Breuken met een verschillende noemer optellen en aftrekken
Optellen
Hoe tellen we dan breuken op met een verschillende noemer (ongelijknamige breuken)? De enige manier om ongelijknamige breuken op te tellen zonder eerst de deling te doen, is ze hervormen naar gelijknamige breuken.
Hoe maken we ze gelijknamig?
Breuken gebruiken we in de kleinste vorm. Er bestaan oneindig veel vormen per breuk. Laten we eens kijken naar 1/2. Dit is altijd de helft, ofwel 0,5. Je noteert 1/2 ook als 2/4, 3/6, 4/8, 5/10, etc. Want een breuk is een deling, en de uitkomst is hier telkens hetzelfde. We zien dat elke noemer een veelvoud is van 2.
Stel, we willen 2/3 en 1/4 optellen. We maken ze eerst gelijknamig. Laten we eens kijken welke vormen ze kunnen aannemen.
Als we goed kijken, zien we dat er in beide rijen een breuk zit met noemer 12. Aangezien 2/3 hetzelfde is als 8/12, en 1/4 hetzelfde is als 3/12, gebruiken we die vormen in onze rekensom:
We hebben de noemer 12 gevonden door van beide breuken een rij te maken met verschillende vormen. Gelukkig bestaat er ook een andere manier, die veel sneller is: de noemers vermenigvuldigen. We hadden de breuken 2/3 en 1/4. De noemers zijn 3 en 4. Als we 3 en 4 vermenigvuldigen, bekomen we 12 als noemer.
Hoe berekenen we op deze manier de teller?
We beginnen met breuk 2/3. Aangezien we noemer 3 vermenigvuldigden met 4, vermenigvuldigen we ook de teller met 4. Anders is de breuk niet meer juist!
Hetzelfde met breuk 1/4. We vermenigvuldigden de noemer met 3, dus vermenigvuldigen we ook de teller met 3.
We vermenigvuldigden zowel de teller als de noemer van elke breuk, met de noemer van de andere breuk.
Dus, wil je twee ongelijknamige breuken vermenigvuldigen? Gebruik dan deze formule:
Aftrekken
Dezelfde regel geldt voor aftrekken. We maken de breuken ook eerst gelijknamig. Dit doen we op dezelfde manier als hierboven. Maar hier tellen we ze niet op, we trekken ze van elkaar af.
Delen
Als laatste hebben we delen. Gelukkig is dit net zoals vermenigvuldigen ook gemakkelijk. Vooraleer we beginnen, moeten we eerst weten wat een omgekeerde breuk is. En dit is, net zoals het woord zegt, het omgekeerde van een breuk.
We doen een trucje met omgekeerde breuken, zodat breuken delen gemakkelijk wordt. Zoals we weten zijn breuken eigenlijk delingen.
Als we 3 vermenigvuldigen met 1/2, is dat hetzelfde als delen door 2. En delen door 2, kan je ook noteren als 2/1. We schrijven dit nooit, aangezien het 2 is. En kijk! Beide zijn omgekeerde breuken van elkaar.
Wanneer we iets delen door een breuk, vermenigvuldigen we met het omgekeerde van die breuk. En je krijgt het correcte antwoord.
Eigenlijk delen we nooit met breuken. We herschrijven ze zodat we ze kunnen vermenigvuldigen. En zoals we hierboven zagen is dat peanuts. Hetzelfde kan je ook doen als je een breuk deelt door een breuk.
Let op, een veelgemaakte fout : Veel leerlingen hervormen beide breuken. ENKEL de breuk waarmee je deelt, verander je naar de omgekeerde breuk.
Ziezo, nu kan je met breuken rekenen en goochelen! Heb je het moeilijk met andere onderdelen van wiskunde? BijlesHuis heeft een netwerk van ervaren en gediplomeerde docenten wiskunde die jou 1-op-1 bijles wiskunde willen geven. Vraag vrijblijvend maar informatie!
Wil je op de hoogte gehouden worden over nieuwe artikels met wiskunde-onderwerpen op een leuke manier gebracht? Schrijf je dan in op onze blog-nieuwsbrief. Je ontvangt verder geen reclame!
