De reeks van Fibonacci (1/2): Oorsprong

Bijleren: wiskunde 5 min read

Sommige wiskunde is functioneel. Andere wiskunde is leuk. En soms is wiskunde gewoonweg verbluffend. Klinkt de laatste beschrijving voor jou onwaarschijnlijk? Je zou wel eens van mening kunnen veranderen. Laten we kennismaken met de Fibonacci-reeks en hoe die op verrassende, elegante en ronduit mysterieuze manier te zien is in de wereld om je heen.

Leonardo Fibonacci

Laten we terugkeren naar het jaar 1202 waarin we kennismaken met onze held: Leonardo Fibonacci. Een jonge, Italiaanse man uit Pisa die graag reisde. Op een van zijn vele reizen raakte hij geïnspireerd door wiskunde en schreef het boek Liber Abaci. Dat boek werd erg belangrijk voor de rest van de geschiedenis van wiskunde. Fibonacci gebruikte het om Europa kennis te laten maken met het getallensysteem dat we nu gebruiken: 0 tot 9. Zie je ons al Romeinse cijfers gebruiken in wiskunde?

fibonacci reeks
Liber Abaci

Het boek Liber Abaci stond vol met wiskundige theorieën en raadsels. Eén daarvan is een raadsel dat vandaag de dag veel belangrijker is dan we ooit konden vermoeden. Het begint met een simpele vraag: “In ideale omstandigheden, hoeveel konijnen zullen er na één jaar zijn?”

De ideale omstandigheden omschreef Fibonacci als volgt:

  • wanneer konijnen zich voortplanten, zijn het er telkens twee: een mannetje en een vrouwtje;
  • konijnen planten zich één keer per maand voort;
  • konijnen reproduceren zich zodra ze één maand oud zijn;
  • konijnen sterven niet.

Het konijnenraadsel van Fibonacci

Het is januari en je krijgt voor nieuwjaar twee pasgeboren konijntjes. En zoals je weet, konijnen staan bekend voor hun seksuele bedrijvigheid. Hoeveel konijnen hebben we na een jaar?

fibonacci rij formule konijnen

Het duurt een maand voordat de konijntjes volwassen zijn. In februari volgroeien de konijntjes en hebben we volwassen konijnen.

fidonacci

In maart bevalt het vrouwtje van een nieuw paar konijntjes. We hebben nu twee paar konijnen.

April, een maand later, planten de eerste konijnen zich nog eens voort. Ondertussen zijn de pasgeboren konijntjes van maart ook volwassen.

In mei planten de twee volwassen paren zich weer voort. De pasgeboren konijntjes van de  vorige maand april zijn nu volwassen. Er zijn nu dus vijf paren konijnen.

In juni planten de drie volwassen paren van vorige maand zich voort. Er zijn drie pasgeboren paren erbij. Ondertussen zijn de twee pasgeboren paren van vorige maand volwassen. Er zijn acht paren konijnen.

De konijnen hebben duidelijk geen problemen om zich voort te planten. Elke maand zijn er weer konijntjes bijgekomen. Rekenen we dit op dezelfde manier uit tot december, dan komen we uit op 144 paren konijnen. Een totaal van 288 konijnen. Denk dus maar goed na vooraleer je konijntjes vraagt voor kerst.

Western Canadian Lotteries - https://www.youtube.com/watch?v=vLnTgCFt2lk

De reeks van Fibonacci

We zetten de cijfers om in volgende tabel. Let op, we werken met paren van konijnen. Bovenaan zien we de maanden. In het begin van januari hebben we enkel de pasgeboren konijntjes. In februari zijn de konijnen volwassen. In maart heeft het eerste paar een nieuw paar op de wereld gezet. En zo verder.

rij vna fibonacci

Onderaan zien we een reeks getallen: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 en 144. Als we goed kijken zien we een patroon in deze getallen. Een volgend getal in de reeks is de som van de twee vorige getallen. 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, enzovoort. Hierdoor geven we de Fibonacci-reeks volgende formule:

formule fibonacci

Het volgende Fibonacci-getal is de som van de twee voorgaande getallen. Om de reeks te starten hebben we het eerste getal F1 en het tweede getal F2 nodig. In Fibonacci’s konijnenprobleem starten we met een paar konijnen, dus F1=1. Het duurt een maand om volwassen te worden, dus F2=1.

De reeks is oneindig. De eerste Fibonacci-getallen, die we aflezen in de tabel, zijn:

formule fibonacci

Dit is nu een van de meest gekende reeksen in de wiskunde.

Fibonacci in de natuur

Oké, we hebben een reeksje. Wat is er nu leuk aan? Waarom kwam deze reeks voor in de Da Vinci Code? Wel, het mooie aan deze reeks is dat je ze niet enkel in wiskundelokalen en konijnenvelden terugvindt, maar vooral in planten. Snijd je een banaan door twee? Dan zie je drie secties. Een appel heeft dan weer vijf pitten. En kijk je naar de spiralen van een dennenappel, dan zie je in zowel horizontale, diagonale als verticale richting ofwel 5, 8, 13 of 21 rijen. Zaden in een zonnebloem, broccoli, ananas,... We zien overal Fibonacci-getallen.

ananas fibonacci

Heb je thuis een ananas liggen? Neem die er even bij. Een ananas bestaat uit allemaal zeshoeken.  Nummer elke zeshoek op volgende manier: De allerlaagste krijgt nummer 0, degene erboven krijgt nummer 1, enz. Hou er rekening mee dat de ananas ook een achterkant heeft die niet zichtbaar is op de foto. Als we goed kijken naar de ananas zien we drie spiralen: een horizontale, diagonale en verticale. De laagste horizontale spiraal bevat de zeshoeken 0, 5, 10, 15, etc. De laagste diagonale spiraal bevat de zeshoeken 0, 8, 16, 24, etc. En de verticale spiraal bevat de zeshoeken 0, 13, 26, 39, etc. Kijk nu eens naar het verschil tussen de zeshoeknummers per spiraal en je bekomt 5, 8 en 13. Opnieuw Fibonacci-getallen.

bloemen fibonacci

Een ander eenvoudig voorbeeld waarin het mogelijk is om de Fibonacci-reeks in de natuur terug te vinden, is het aantal bloembladen van bloemen. De meeste hebben er drie (zoals lelies en irissen), vijf (boterbloem, rozenbottels) of acht (delfinium), 13 (sommige madeliefjes), 21 (cichorei), 34, 55 of 89 (madeliefjes).

De gulden snede

rij van fibonacci

Dit is niet het enige wat zo speciaal is aan deze reeks. Laten we nu in plaats van de getallen op te tellen, het quotiënt nemen. Eens kijken of we iets speciaals zien.

Basisrekenen: delen we 1 door 1, dan bekomen we 1. Vervolgens delen we 2 door 1 en bekomen we 2. En 3 gedeeld door 2 is 1,5. Alledrie simpele berekeningen maar het zegt ons nog niets. Laten we eens verder kijken.

5 gedeeld door 3 is 1,6666666... Dit is al wat interessanter en specialer.

We zien dat deze oplossingen veel dichter bij elkaar liggen.

We bekomen telkens hetzelfde getal: 1,618. De Grieken hadden dit getal al lang voor Fibonacci ontdekt en ze noemden het phi. Vandaag de dag is het meer bekend onder de naam De Gulden Snede. En weet je wat nog specialer is? Ook dit getal komt overal voor in de natuur!

Wil je meer weten over de gulden snede? Of is je wiskundecursus meer gevorderd? Neem dan een kijkje in deel 2 van dit artikel. Daarin hebben we het over de gulden snede, de spiraal en hoe we deze terugvinden in piramides, bloemen, de ruimte, Afrika en zelfs Donald Trump!

Is wiskunde niet je ding en loop je vaak vast op de leerstof en taken? Of zoek je begeleiding voor een toets of examen? BijlesHuis heeft een leger aan ervaren en gediplomeerde docenten wiskunde beschikbaar om je van de beste 1-op-1 bijles wiskunde te voorzien. Vraag snel om een docent in jouw buurt!

Laat hieronder je gegevens achter en blijf zo op de hoogte van onze nieuwste artikels! Je ontvangt verder geen reclame of andere e-mails.

wiskunde fibonacci reeks van fibonacci wiskunde beter begrijpen bijles wiskunde
Updates ontvangen met didactische inzichten?
Sign up for our newsletter