In dit artikel hebben we het over kansrekenen, en hoe we daarvoor de formule van Laplace gebruiken.
Wiskunde verloopt steeds op dezelfde manier. Het staat altijd vast wat de uitkomst is. Tel je 1 op met 2, je krijgt altijd 3. Deel je 50 door 5, je krijgt altijd 10. Er is zekerheid. In het dagelijkse leven is dat niet altijd zo. De dingen zijn niet telkens voorspelbaar.
Kansrekenen bij een muntstuk
Gooi je een muntstukje in de lucht? Dan weet je niet op voorhand of het kop of munt is. Het is onvoorspelbaar en hangt af van toeval.
Hoewel het onvoorspelbaar is, weten we er enkele zaken over. We weten dat er evenveel kans is om kop te gooien, als munt te gooien. De kans van deze twee gebeurtenissen is dezelfde, de helft: ½ of 50%
Er is ½ kans om kop te gooien en ½ kans om munt te gooien. Elk 50% kans.
Hoeveel kans?
Een kans ligt tussen 0% en 100%. Een kans gelijk aan 0%? Dit betekent dat iets niet gebeurt, het is onmogelijk. Een kans van 100%? Dit betekent dat het gebeurt, er is 100% zekerheid. Je kan deze kansen op verschillende mogelijkheden noteren:
Kansrekenen met een pizza
Laten we eens een iets moeilijker voorbeeld nemen. Jouw pizza is verdeeld in acht gelijke stukken. Jouw vriend vraagt om een stuk en je staat toe dat hij één stukje neemt. De pizza is nog volledig en hij heeft keuze tussen de 8 stukken.
Er zijn acht gelijke stukken waarvan hij één stuk kiest. De kans dat jouw vriend het zesde stukje kiest is 1 op 8.
Elk pizzastuk heeft ⅛ kans om gekozen te worden door jouw vriend.
Als je goed kijkt, zie je dat stuk 4, 5 en 6 net ietsje minder kaas hebben. Het is niet duidelijk zichtbaar; je weet dat jouw vriend dat niet zal merken. Je hoopt uiteraard dat hij één van deze stukken kiest.
Wat is nu de kans dat hij één van deze stukken kiest? Elk stuk heeft ⅛ kans om gekozen te worden. Drie van deze acht stukken hebben minder kaas. De kans is ⅜.
Wat is de kans dat hij een stuk kiest met meer kaas? Er zijn vijf stukken met meer kaas: Nummer 1, 2, 3, 7 en 8. De kans is dus 5 op 8.
Dit leidt ons tot de formule van Laplace.
De formule van Laplace bij uniforme kansverdelingen
Om niet iedere keer ‘de kans’ volledig uit te moeten schrijven, gebruiken we de kortere notatie P(A). De P komt van het Engelse woord ‘probability’. A staat in ons voorbeeld gelijk aan de stukken pizza.
Hoe berekenen we de kans van een gebeurtenis? We bekijken eerst hoeveel gunstige uitkomsten er zijn. Bij ons voorbeeld is dat 3. Het zou voor jou gunstig zijn dat jouw vriend een pizzastuk kiest met weinig kaas op. Het aantal stukken met weinig kaas op is 3. Het aantal mogelijke uitkomsten is 8, want de pizza heeft 8 stukken.
De formule van Laplace noteren we als:
Niet-uniforme kansverdelingen
Let op! Deze gebruik je enkel indien alle uitkomsten even waarschijnlijk zijn. Bij de pizza had elk stuk een kans van 1 op 8. De kansen per stuk waren gelijk.
Indien de pizza niet in gelijke stukken verdeeld was, is de kans per stuk niet gelijk.
Jouw vriend mag één stukje van jouw pizza. De kans is groter dat hij een groter stuk kiest. Indien de kansen niet gelijk zijn per uitkomst, kan je bovenstaande formule niet gebruiken.
Conclusie: formule van Laplace
Om de kans te berekenen waarbij alle uitkomsten even waarschijnlijk zijn, namelijk een uniforme kansverdeling, gebruik je de formule van Laplace:
Nouchka van BijlesHuis heeft een voorliefde voor cijfers en berekeningen. In deze reeks helpt ze jou om enkele concepten van wiskunde beter te begrijpen. Vragen over dit artikel? Stuur een mailtje naar nouchka@bijleshuis.be en ze geeft je met plezier meer uitleg! Op zoek naar bijles voor wiskunde? Neem dan een kijkje bij BijlesHuis.
🌐 BijlesHuis - Vind de perfecte lesgever
Laat hieronder je gegevens achter en blijf zo op de hoogte van onze nieuwste artikels! Je ontvangt verder geen reclame of andere e-mails.